“物理就是几何”:从爱因斯坦到杨振宁、丘成桐

2013.06.27 13:12
来源: 中华读书报     作者: 杨建邺(本报书评人)
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  《大宇之形》,[美]丘成桐、史蒂夫·纳迪斯著,翁秉仁、赵学信译,湖南科技出版社2012年12月第一版,45.00元

  《大宇之形》英文书名是《内空间之形》(The Shape of Inner Space),该书主要作者、华人数学家丘成桐在全书末尾“终曲:进入圣堂,必备几何”里写的一段话给人印象深刻:

  根据传说,柏拉图在学院入口的大门上,铭刻着下面这句话:不识几何者,不能入此学园。

  ……不过,如果要在我不那么重要的哈佛研究室门口,也挂上一块标志的话,我会将文字修改成“不识几何者,不能出此门。”

  看到这两段话,使我想起另一位华人数学大师陈省身(丘成桐的导师)在一次在演讲中说:

  谈一下物理与几何的关系。我觉得物理学里有很多重要的工作,是物理学家要证明说物理就是几何。比方说,你从牛顿的第二运动定律开始。牛顿的第二定律说:

  F = ma

  F是力,m是质量,a是加速度。加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量。而力当然是物理量。所以牛顿费了半天劲,他只是说“物理就是几何”。(大笑,鼓掌)

  不但如此,爱因斯坦的广义相对论也是这样。广义相对论方程的左端是几何量——曲率,右端是物理量——能量-应力张量。由此可见物理和几何学之间的关系了。爱因斯坦之后,物理学几何化(geometrization of physics)的进程大大提速。这一进程,可以说是惊心动魄,同时也历经艰难。

  几何是非常直接、质朴、基础和自然的东西,如果物理学能几何化,自然就具有简洁优美的品质。但是在这一进程中,物理学家们还是屡屡大惊失色,但过后又会觉得不可思议、妙不可言。想把这样一段历史写出来,而且让一般读者理解,是一件非常困难的事。但是丘成桐不愧是世界级数学大师,他这一本厚达461页的数学科普书籍,显示他不仅不愧为“美国数学界的凯撒大帝”,就是写起科普书籍也是大师级的——历史脉络和当今数学物理研究的最前沿,都一一清晰地展现在读者眼前。在简要介绍历史上几个基本事件后,立即进入丘成桐自己历经艰难的研究,其中还不时穿插他个人的经历。

  公元前360年,柏拉图就说:“神以几何造世。”这以后有许许多多数学家和物理学家沿着这条大道前仆后继,为理解这一“神启”而呕心沥血。这其中的成功与挫折,可歌可泣。丘成桐这本书的重心就是谈20世纪“物理几何化”的历程。20世纪物理几何化大致上有三个重要的事件。

  在序曲“从柏拉图到宇宙未来的形貌”里,丘成桐说:

  在伟大的前科学时代,柏拉图就指出大自然的元素与其性质,还有作用其上的力,可能都可归源于某个潜藏于幕后的几何结构,它主导了这一切。换句话说,我们所见的世界,只是这个不可见几何形体的反映罢了。这个观念深得我心,也和我最知名的数学证明紧密相关(对于曾听说过我名字的人而言)。虽然有些人可能觉得这太牵强,只是大张旗鼓为几何宣传罢了,但是,这个想法或有真意,各位不妨拭目以待,静心阅读下去。

  第一个重大事件是爱因斯坦创建相对论。

  20世纪之初,爱因斯坦花了近十年的时间,尝试把他的狭义相对论和牛顿的引力理论结合起来。他猜测解答的关键可能在几何学里,于是向他的同学、几何学家格罗斯曼寻求援助。格罗斯曼把当时物理学家还很陌生的黎曼几何介绍给他,不过警告爱因斯坦,黎曼几何是“一团混乱,物理学家最好别碰”。

  原来德国数学大师黎曼(Georg F. B. Riemann)早在19世纪50年代,就研究弯曲空间的几何(即“非欧几何”),了解到空间并不需要受限于维数。28岁那年,黎曼阐述了日后被称为“黎曼几何”的几何原理,把空间从欧氏几何的平坦性和三维的限制中释放出来;他还想构建一门数学-物理理论,试图把电、磁、光和引力整合在一起。这一目标至今仍然是物理学家努力研究的方向。但是当时的物理学家对黎曼的这些成就和设想几乎没有任何热情,他们一时还无法逃离三维空间的安乐窝。

  虽然格罗斯蔓认为“物理学家最好别碰”黎曼几何,但幸运的是爱因斯坦很快发现黎曼几何正好为他提供了一个现成的四维时空的数学架构。爱因斯坦的天才之处在于他一眼就看出,这整套几何学正是为他的引力理论新看法量身订做的。

  具备了黎曼度规张量的知识之后,爱因斯坦开始构想时空的形状及其他性质,亦即时空的几何。他将几何学与物理学融合在一起,结果提炼出著名的爱因斯坦引力场方程式。这组方程式表明引力可以视为是时空弯曲所造成的某种假象。黎曼几何的度规张量不仅描述时空的曲率,同时也描述了爱因斯坦新理论的引力场。换言之,引力即是几何。

  美国普林斯顿大学物理学教授约翰·惠勒曾如此解释爱因斯坦的引力图像:“质量告诉空间如何弯曲,借以紧抓住空间;空间告诉质量如何移动,借以紧抓住质量。”

  丘成桐更加明确地告诉我们:“最美妙的结果是,引力和曲率就是一体的两面,物质的存在造成时空的弯曲,也因此形成引力。”

  这项卓越的成就连爱因斯坦自己都感到吃惊。在此之前,他没有看出物理学的基础竟会和数学如此紧密交织在一起。因此他多年之后说:

  创造的原理存在于数学之中。因此在某种意义上,我认为正如古人所梦想的,纯粹的思想便足以理解实在。

  第二个重大事件是杨振宁发现规范场与几何学里的纤维丛的关联。

  事情发生在1969年,那时杨振宁在纽约州立大学石溪分校。有一天杨振宁忽然有一种突如其来的直觉:他发现广义相对论里爱因斯坦的引力方程公式,有一些像他和米尔斯发现的一个规范理论中的一个方程。杨振宁大吃一惊,经过仔细思考后他认识到:这两个公式之所以相似,完全是因为广义相对论中的方程只是规范场方程的一个特例!杨振宁后来写道:

  理解到这一点,我喜不自胜,得意忘形之状实难用笔墨形容。我因而明白了,从数学的观点看来,规范场在根本意义上是一种几何的概念。

  他把这件事告诉数学系主任吉姆·赛蒙斯是,赛蒙斯一点也不惊讶,只是平静地对杨振宁说:“不稀奇,二者都是不同的‘纤维丛’,那是20世纪40年代以来数学界的热门新发展。”

  在赛蒙斯的帮助下,杨振宁老老实实学习了几何学里的纤维丛理论。由此杨振宁和所有物理学家才明白,规范场理论的数学架构就是纤维丛里的联络(connection);而联络是几何学里很基础的概念,有了联络,人们就可以研究大范围的几何问题。这种数学和物理学有历史意义的结合,已经成为20世纪80年代的潮流。在物理学和数学史上,这是一次伟大的事件!对于几何和物理的这种沟通和结合,连杨振宁都觉得实在太神奇和不可思议。他说:

  这对我来说是十分令人惊叹的事。在1975年我与陈省身讨论我的感觉时,我说:“这真是令人震惊和迷惑不解,因为不知道你们数学家从什么地方凭空想象出这些概念。”他立刻抗议:“不,不,这些概念不是凭空想象出来的,它们是自然而真实的。”

  第三次重大事件就是1976年丘成桐发现的“卡拉比-丘流形”(Calabi-Yau manifold)——内空间。这是丘成桐一生最重要的发现,也是本书重点阐述的内容。他对“卡拉比-丘流形”这一术语的解释是:“一大类黎奇曲率为零、借由卡拉比猜想的证明而保证存在的几何空间。”

  这是一个数学上了不起的发现,开始也没有人会想到它在物理学里会有什么用处,因为这一空间涉及的是十维以上的空间,对于物理学家来说,四维空间就够他们受的了。当1919年卡鲁扎提出五维空间的时候,就把物理学家弄得神经衰弱。现在居然来了一个十维空间!但是从1968年开始兴起,到20世纪与21世纪之交时兴旺一时的弦论(string theory),则认为宇宙真正的时空其实是一个十维的空间,其中有四维是前爱因斯坦的时空流形(也就是我们的日常生活空间),另外和它“垂直”的还有一个很小很小,小到我们无知无觉的六维空间,这个六维空间基本上就是丘成桐在本书叙述的主角卡拉比-丘流形。像历史上发生的数学事件一样,开始物理学家简直就不知道这个流形跟物理学有什么关系。但是后来研究弦论的物理学家却发现“卡拉比-丘流形”正好是弦论需要的空间!历史又一次让几何与物理交汇到一起。

  丘成桐说:弦论学者“在这个十维空间中,有一种最小单位的弦纵横其中。以类比的说法,卡拉比-丘流形是宇宙这座大琴的音箱,拨动这些弦造成不同的音高与音色,于是产生不同的基本粒子,进而发展出所有的物质与作用力。”

  也许会有人说:弦论现在不是已经不那么时髦,物理学家已经开始对他疑虑重重了吗?对此丘成桐指出:

  事实上,在物理学使用卡拉比-丘空间.某种意义上来说,和它在数学中的重要性无关。……做为弦论基础的数学,以及因弦论而激发的数学研究是绝对正确的,这和弦论最终的评判结果无关。我们甚至可以说,和弦论有牵连的数学,只要是坚实而且被严格证明,它就是正确的,和我们是否住在弦或膜所构成的十维宇宙毫无关系。

  那么这一切对物理学来说有何意义呢?前面谈过,因为我是数学家,并没有资格谈论弦论的正确性,但是我可以提供一些意见和观察。弦论的确还没有被证明,也未经测试。但是,检视物理研究的主要工具之一,是理论的数学一致性(mathematical consistency),到目前为止,弦论在这些考试中都是高分通过。

  丘成桐的这本书的主旨,就是以数学家的观点来谈论十维空间的六维内在空间——“卡拉比-丘流形”。以后物理学家会在这个空间里发掘出什么宝贝,物理学家将拭目以待。

  这本书从某种意义上可以说是丘成桐的学术性自传,很好地展现了丘成桐个人的经历和奋斗。丘成桐是一位世界级数学大师,诚如《当代数学精英——菲尔兹奖得主及其建树与见解》一书所说:“丘成桐在微分几何和偏微分方程等领域做出了极其深刻并有重大影响的贡献。他是一位具有分析学家气质的几何学家(或者说是具有几何学家气质的分析学家),具有高超的分析技巧,解决了诸多停滞多年毫无进展的数学问题。”

  有一篇报道里谈到丘成桐呕心沥血的研究历程时说:“他在世界数学难题的崇山峻岭上孤独地跋涉,数学几乎成为他生活的全部,甚至成为他的生命。他坚忍不拔地攀登着,期待着那数学世界空谷幽兰的出现。”这本书里,丘成桐也多处谈到他如何在“数学难题的崇山峻岭上孤独地跋涉”,非常感人,催人奋进。

  诺贝尔奖获得者格罗斯推荐这本书时说:“《大宇之形》把读者带上了探访现代几何与物理的美丽领域的奇妙旅程,我极力推荐给富有求知欲的读者。”这也正是我写这篇文章的最大愿望!

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